La matematica come avventura: le inattese applicazioni della teoria del trasporto ottimo
Pensate a un'azienda che abbia bisogno di trasportare alcune merci dalle sue fabbriche, ognuna delle quali ha prodotto una determinata frazione del totale, ai suoi magazzini, ognuno dei quali deve riceverne una quantità desiderata. Dati i costi di trasporto tra ciascuno stabilimento e ciascun magazzino, qual è il piano di trasporto corrispondente al minor costo totale?
Questo è un esempio di problema di trasporto ottimo, la cui struttura si ritrova anche in contesti più astratti e complessi. Si tratta di un problema matematico classico, studiato per la prima volta dal matematico francese Gaspard Monge nel 1781. Importanti progressi furono poi compiuti dal matematico russo Leonid Kantorovich durante la seconda guerra mondiale, ma furono pubblicati solo negli anni Sessanta, a causa delle limitazioni imposte dall'URSS su argomenti di ricerca così strategici. Infatti, il lavoro di Kantorovich era talmente rilevante che nel 1975 gli valse il Premio Nobel per l'economia.
Pur affondando le proprie radici in ambito economico, il problema del trasporto ottimo si è poi rivelato ben più generale e ha avuto applicazioni in vari campi, dalla geometria alla probabilità, dalla statistica alle equazioni alle derivate parziali e - più recentemente – nell'ambito del machine learning. "Questo è un ottimo esempio della potenza di un approccio matematico", spiega Giuseppe Savaré, professore di Analisi Matematica presso il Dipartimento di Scienze delle Decisioni della Bocconi. "Se si riesce a studiare in profondità un problema, cogliendone le proprietà essenziali e traducendole in una formulazione più generale, si possono aprire direzioni di ricerca inaspettate, contribuendo ad ambiti apparentemente distanti da quello di partenza. Vent'anni fa, quando ho iniziato a lavorare su trasporto ottimo e flussi gradienti con Luigi Ambrosio e Nicola Gigli, abbiamo fatto qualcosa di simile, combinando alcune idee matematiche sui flussi gradienti formulate negli anni Ottanta in un contesto diverso e piuttosto astratto con i più recenti sviluppi del trasporto ottimo: questo approccio dinamico è stato il punto di partenza della nostra indagine. Alcuni dei risultati che abbiamo ottenuto vengono oggi impiegati nel machine learning o nell'elaborazione di immagini, per applicazioni che allora non venivano ancora studiate nella loro forma attuale".
"Trovo che questa sia un'ulteriore prova dell'importanza della ricerca di base: anche quando le applicazioni non sono immediatamente prevedibili, idee generali ed eleganti possono rivelarsi fondamentali a lungo termine. Si tratta di un aspetto profondo e affascinante della matematica: quando si inizia a lavorare su un nuovo problema, soprattutto se impegnativo, non si sa mai esattamente dove questo ci porterà e in quali altre direzioni i nostri risultati verranno sviluppati da altri studiosi".
Per saperne di più
L. Ambrosio, N. Gigli and G. Savaré. Gradient flows: in metric spaces and in the space of probability measures. Birkhäuser, 2008.
Video:
G. Savaré. Conferenza su "Trasporto ottimo, flussi gradienti e geometria Riemanniana", XXI Congresso dell'Unione Matematica Italiana. Pavia 2-7 settembre 2019.
Intervista a G. Savaré per il XXI Congresso dell'Unione Matematica Italiana. Pavia 2-7 settembre 2019.