Comprendere la struttura dei cristalli tramite l'analisi geometrica

Quando immergiamo il cerchietto di plastica nel tubo per le bolle di sapone, catturiamo una pellicola piatta, a forma di disco. Ciò accade perché, tra tutte le superfici circoscritte dal cerchietto, il disco è quella con area minore. In particolare, il disco minimizza l'energia derivante dalla forza di tensione superficiale che tiene insieme la pellicola di sapone, impedendole di scoppiare.

Essendo l'area della pellicola proporzionale alla sua energia superficiale, i matematici si sono sforzati di sviluppare strumenti adatti a minimizzare l'area fin dagli anni '70 dell'800, quando il fisico belga Joseph Plateau congetturò che esiste una pellicola di area minima non solo quando catturiamo il sapone con un cerchietto, ma anche con un "filo" chiuso di qualsiasi altra forma. I matematici sono riusciti a sviluppare strumenti efficaci, almeno fino a quando si modellizza il fenomeno come "invariante per moti rigidi": tornando al cerchietto per le bolle e prescindendo dalla resistenza dell'aria, la pellicola di sapone è invariante per moti rigidi se rimane la stessa comunque si ruoti il cerchietto.

In realtà, però, le forze che agiscono sul disco non sono omogenee, ma dipendono dalla direzione (cioè sono "anisotrope") e, se il cerchietto è parallelo al terreno, la gravità tenderà ad attrarre il sapone verso il basso, formando una leggera pancia. In questo caso, l'equilibrio viene raggiunto minimizzando un costo energetico che non è proporzionale alla semplice area. Quindi anche se approssimare l'energia con l'area della superficie semplifica la matematica, questo conduce a dei modelli imprecisi in molti casi di interesse.

Ebbene, la matematica necessaria a studiare problemi in cui siano in gioco energie anisotrope, è ancora tutta da sviluppare e lo European Research Council ha assegnato un ERC Starting Grant del valore di €1,5mln ad Antonio De Rosa (Dipartimento di Scienze delle Decisioni della Bocconi) per fare proprio questo.

ANGEVA (Anisotropic Geometric Variational Problems: Existence, Regularity and Uniqueness) vuole introdurre teoremi, proprietà strutturali e tecniche di analisi per la teoria delle superfici minime anisotrope, che avranno un impatto diretto nella scienza dei materiali, biologia cellulare, computer graphics, economia e teoria della relatività generale.

"Le applicazioni più intuitive sono forse quelle in scienza dei materiali," afferma De Rosa. "Molti materiali, anche quelli apparentemente più lisci, se osservati al microscopio evidenziano arrangiamenti particolari delle particelle in strutture cristalline, che conferiscono loro diverse proprietà meccaniche di resistenza, flessibilità, duttilità o altro. Le microstrutture cristalline possono essere ottenute minimizzando energie anisotrope e perciò il mio progetto potrà aiutare sia a progettare microstrutture con le caratteristiche desiderate, sia a studiare il comportamento di materiali con specifiche microstrutture quando sono soggetti a determinate forze."



Un'altra applicazione molto importante, anche se completamente diversa dalla precedente, è in computer graphics. L'anisotropic filtering consente di ripulire le immagini da alcune imperfezioni (il cosiddetto rumore) mantenendo però caratteristiche importanti come, tipicamente, la spigolosità degli oggetti rappresentati. Inoltre, l'anisotropic filtering permette di migliorare la qualità delle immagini che raffigurano texture inclinate rispetto all'osservatore.

Gli ERC Starting Grant sono riservati a ricercatori con 2-7 anni di esperienza dal completamento del PhD, un track record scientifico molto promettente e un'eccellente proposta di ricerca. Per i ricercatori nelle fasi successive della carriera, l'ERC fornisce Consolidator Grant e Advanced Grant.